Mathématiques

Question

Le graphique ci-dessous représente une partie de la
courbe représentative C d'une fonction F définie et
derivable sur l'intervalle [0;4].
On désigne par f la fonction dérivée de F.
La courbe C admet en A et en D une tangente horizon-
tale.
On désigne par T, la tan-
gente à la courbe C au
point O.
1. A partir du graphique et
des données de l'énoncé,
dresser le tableau de varia-
tion de F sur (0:3).
2. a) Déterminer graphiquement une équation de la droite T.
b) En déduire f(0)
3. Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est
positive.
4. Déterminer la valeur exacte de l'intégrale f(x)dx sur [1;3]
5. G est la primitive de f sur [0; 4], telle que G(0) = 1.
Calculer G(3)​
Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative C d'une fonction F définie et derivable sur l'intervalle [0;4]. On désigne par f la fo

0 Commentaire.

1 Réponse

  • Réponse :

    F(x) représentée sur le graphique est à priori de la forme ax³+bx²+cx+d

    et f(x) est sa dérivée

    Explications étape par étape

    1)Tableau de variations de F(x) sur [0; 3] par lecture graphique

    x    0                      1                              2                           3

    F(x)0...croi.............2,5.........décroi...........2.......croi...............4,5

    2a) (T) est une fonction affine  y=6x

    b) (T) est tangente à la courbe au point d'abscisse x=0  donc F(0)=0  et  et le nombre dérivé f(0)=6

    3) la fonction dérivée f(x) est >0 quand F(x) est croissante soit sur:

    [0; 1[ U]2; 3]

    4) L'intégrale de f(x)dx sur [1;3] est F(3)-F(1)=4,5-2,5=2

    5) G(x) étant une primitive de f(x) elle est de la même forme que F(x) à la constante près. On sait que F(0)=0 et que G(0)=1,  G(x) est donc l'image de F(x) par translation de vecteur (0; 1)

    donc G(3)=F(3)+1=4,5+1=5,5

                                           ****************************

     Non demandé: Je te mets en plus une expression possible  de F(x) sur  [0; 4] F(x)=ax³+bx²+cx+d

    la droite (T) d'équation y=6x est tangente à F(x) au point d'abscisse x=0 de ceci on en déduit que F(0)=0    donc d=0

    2)F(x)=ax³+bx²+cx

    dérivée f(x)=3ax²+2bx+c on a 3 inconnues  a, b et c on connaît les coefficients directeurs de 3 tangentes on écrit 3 équations

    f(0)=6  soit 0a+0b+c=6   équa ( 1)

    f(1)=0    soit 3a+2b+c=0  équa(2)

    f(2)=0   soit 12a+4b+c=0 équa(3)

    de (1) on tire c=6

    ce qui donne

    3a+2b+6=0   équa (2)  ou -6a-4b-12=0  (2)

    12a+4b+6=0  équa (3)

    (2)+(3)  6a-6=0    soit a=1

    report dans (2)  3+2b+6=0  soit b=-9/2

    F(x)=x³-(9/2)x²+6x

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