Bonjour pouvez vous m'aider pour mon devoir de maths combien de diagonale a un polygone a 4 cote 5 cote 8 cote est 120 cote. merci aurevoir

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

Soit ABCD un polygone à 4 côtés, comptons les diagonales.

De A partent les droites vers B, vers C, vers D: 3

mais vers B et vers D ne sont pas des digonales ==> 3-2=1

De B partent  les droites vers C et D (pas vers A car déjà compté)

mais vers C n'est pas une diagonale : 2-1=1

De C tout est déjà dessiné.: 0

Nombre de diagonales = 1+1=2

Soit A1 A2 A3 A4 A5 A6 .... A120 un polygone à 120 côtés

(donc 120 sommets).

De A1 partent 119 -2 =117 diagonales

De A2 partent 118 - 1 =117 diagonales

De A3 partent 117 - 1=  116 diagonales

De A4 : 115

De A5: 114

....

De A117 : 2 diagonale (vers A 119 , A120)

De A118: 1 diagonale (vers A120)

De A119: 0

De A120: 0

Nombre de diagonales :

[tex]117+117+116+115+114+...+2+1=117+(1+2+3+4+...+117)\\\\=117+\dfrac{117*118}{2} \\\\=117(1+\dfrac{118}{2} )\\\\=117(\dfrac{2+118}{2} )\\\\=\dfrac{117*120}{2} \\\\=\dfrac{(120-3)*120}{2} \\\\\\[/tex]

Pour un polygone à n côtés:

[tex]\\\boxed{nb=\dfrac{n*(n-3)}{2}}\\[/tex]

Ainsi

pour un pentagone (n=5), nb= 5*2/2=5 diagonales

pour un octogone (n=8), nb= 8*5/2=20 diagonales