Bonjour, pouvez-vous m'aider à résoudre cet exercice svp ? Merci d'avance :)

Réponse :

Explications étape par étape

bonjour

a) J ai fait le calcul sous Excel

n = Un

0 1

1 2

2 0

3 1

4 2

5 0

6 1

7 2

8 0

9 1

10 2

11 0

12 1

13 2

14 0

15 1

16 2

17 0

18 1

19 2

20 0

on voit que la suite ne prend que 3 differentes valeurs de maniere periodique

par theoreme de la division euclidienne, pour tout n entier on peut trouver p et q entiers tel que q < 3 et

n = 3p+q

on peut faire la conjecture suivante

pour tout n entier

Un =U3p+q  = 1 si q = 0

         = 2 si q = 1

         = 0 si q = 2

b) prouvons par recurrence que U3n = 1, U3n+1 = 2 et U3n+2 = 0 pour tout n

+ au rang n = 0 on a uo = 1, u1 = 2, u2 = 0 - c est donc vrai au rang 0

+ supposons que c est vrai au rang n et prouvons que ca reste vrai au rang n+1

par hypothese de recurrence

u3n = 1

u3n+1 =2

u3n+2 = 0

prouvons que u3n+3 = 1, u3n+4 = 2 et u3n+5 =0

u3n+3 = -3/2u3n+2 +5/2u3n+2 + 1 = 1

u3n+4 = -3/2u3n+3 +5/2u3n+3 + 1 = 2

u3n+5 = -3/2u3n+4 +5/2u3n+4 + 1 = 0

donc c est vrai au rang n+1

on vient donc de demontrer par recurrence que pour tout n entier

u3n = 1

u3n+1 =2

u3n+2 = 0

c) la division euclidienne de 2020 par 3 nous donne 2020 = 673 * 3 + 1

U(2020) = U(3x673+1) = 2