Bonjour pourriez vous m’aider pour l’exercice en Spe maths s’il vous plaît

Réponse :

Explications étape par étape

Partie 1

1) On voit que 7*1-6*1=1  donc une solution particulière est x=1 et y=1

2) L'astuce est de faire un système avec la solution particulière

[tex]\left \{ {{7x-6y=1} \atop {7*1-6*1=1}} \right.[/tex]

On soustrait membre à membre

[tex]7x-6y-7+6=0 <=> 7x-7 -6x+6=0 <=> 7(x-1)-6(y-1)=0 <=> 7(x-1 )=6(y-1)[/tex]

Comme 6 et 7 sont premier en eux donc x-1≡0(6) soit x≡1 (6)

Donc x= 6k+1 avec k∈Z et en remplaçant dans la dernière relation on a y=7k+1

Donc S={(6k+1;7k+1), k∈Z}

Partie B

1) on remarque que

[tex]7^{n} =7*7^{n-1} \\3*2^{m} =3*2*2^{m-1}=6*2^{m-1}[/tex]

Donc si [tex]x=7^{n-1} \ \ et \ \ \ y=2^{m-1}[/tex] on retrouve l'équation de la partie 1

Il faut simplement que x et y soit entier donc n≥1 et m≥1

On suppose m≤4

1e cas m=0

L'équation F devient [tex]7^{n} -3*2^{0} =1 <=> 7^{n}=4[/tex] impossible. Il n'y a pas de solutions

2e cas m≠0

On a donc [tex]2^{m-1}[/tex]≡ 1 (7) d"après partie A

[tex]2^{0}[/tex]≡1(7) , [tex]2^{1}[/tex]≡2(7), [tex]2^{2}[/tex]≡4(7) et [tex]2^{3}[/tex]≡1(7)

Donc seul m-1=0 et m-1=3 conviennent.

Si m=1  on a [tex]7^{n} -6 =1 <=>7^{n}=7 <=> n=1[/tex]

Si m=4 on a [tex]7^{n} -48 =1 <=>7^{n}=49 <=> n=2[/tex]

Il y a donc exactement 2 couples solution

2) on suppose que m≥5

Donc [tex]2^{m} \ est \ divisible\ par \ 2^{5} =32[/tex]

Si n et m vérifie F alors

[tex]7^{n} -3*2^{m}[/tex] ≡ 1 (32) mais [tex]2^{m}[/tex] ≡ 0 (32) donc

[tex]7^{n}[/tex] ≡ 1 (32)

b)

[tex]7^{0}[/tex] ≡ 1 (32) , [tex]7^{1}[/tex] ≡ 7 (32) , [tex]7^{2}[/tex] ≡ 31 (32), [tex]7^{3}[/tex] ≡ 23 (32), [tex]7^{4}[/tex] ≡ 1 (32)

Donc

[tex]n=4k : 7^{n} =7^{4k} =(7^{4})^{k}[/tex] ≡ 1 (32)

[tex]n=4k+1 : 7^{n} =7^{4k+1} =7^{4k}* 7^1{}=(7^{4})^{k}* 7^1{}[/tex] ≡ 7 (32)

[tex]n=4k+2 : 7^{n} =7^{4k+2} =7^{4k}* 7^{2}=(7^{4})^{k}* 7^{2}[/tex] ≡ 31 (32)

[tex]n=4k+3 : 7^{n} =7^{4k+3} =7^{4k}* 7^{3}=(7^{4})^{k}* 7^{3}[/tex] ≡ 23 (32)

Donc n est nécessairement multiple de 4 pour vérifier F

c)

Puisque n est multiple de 4 on a  

[tex]n=4k : 7^{n} =7^{4k} =(7^{4})^{k}[/tex]

[tex]7^{4} = 2401[/tex] ≡ 1(5)

Donc [tex]7^{n}[/tex] ≡ 1(5)

d)

On remarque que -3≡2(5)

On doit avoir pour F

[tex]7^{n} -3*2^{m}[/tex] ≡ 1 (5)

[tex]1 +2*2^{m}[/tex] ≡ 1 (5)

[tex]2^{m+1}[/tex] ≡ 0 (5)

Or 2 est premier avec 5. Donc il n' a pas de solutions possibles

3.

En conclusion il n'y a que 2 solutions (1;1) et (2;4)