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Question

Bonjour ,je suis en galère, si vous pouviez me résoudre cette exercice s'il-vous-plaît.
Merci d'avance !

On pose x = AM = BN = CP = DQ avec 0< (ou égal) x < (ou égal) 20.

1. Calculer l'aire du carré MNPQ lorsque x = 5 cm.

2. L'aire du carré MNPQ en fonction de x (exprimée en cm carré) est notée A(x). Démontrer que A(x) = 2x² - 40x + 400.

3. On veut déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire du carré MNPQ dépasse ou égale 272 cm².

(a) Expliquer pourquoi lo problème revient à résoudre l'inéquation : 2x²- 40x + 128 > 0.

(b) Démontrer l'égalite suivante : 2x²- 40x + 128 = (8 - 2x) (16 - x).

(c) En déduire, A l'aide d'un tableau de signes, les valeurs de x pour lesquelles l'aire du carré MNPQ dépasse ou égale 272cm².

4. Bonus. Determiner la valeur de x pour Iaquelle l'aire du carré MNPQ est minimale. Expliquer votre démarche !​
Bonjour ,je suis en galère, si vous pouviez me résoudre cette exercice s'il-vous-plaît. Merci d'avance ! On pose x = AM = BN = CP = DQ avec 0< (ou égal) x < (ou

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape

    1)

    L'aire du carré MNPQ  est la différence entre l'aire de ABCD et des 4 triangles rectangles de même aires

    [tex]\\A_{ABCD} =20^{2} =400\\A_{AMQ} =\frac{5*(20-5)}{2} =\frac{75}{2} \\\\A_{MNPQ} = 400-2*75 = 250[/tex]

    2) On raisonne de la même façon

    [tex]A_{AMQ} = \frac{x(20-x)}{2} \\\\A_{MNPQ} = 400 - 4* \frac{x(20-x)}{2} = 400 - 2x(20-x)= 400-40x+2x^{2}[/tex]

    3)

    [tex]A \geq 272[/tex]

    [tex]2x^{2} -40x+400 \geq 272\\<=> 2x^{2} -40x+400-272 \geq 0\\\\<=> 2x^{2} -40x+128 \geq 0\\[/tex]

    4)

    a)

    [tex]E = (8-2x)(16-x)= 128 -8x-32x+2x^{2} = 128-40x+2x^{2}[/tex]

    b)

    [tex]2x^{2}-40x+128 \geq0\\ (8-2x)(16-x)\geq 0\\2(4-x)(16-x)\geq 0\\[/tex]

    Tableau de signe

                  0      4        16        20

    4-x             +   0   -     |   -      

    16-x            +    |   +    0  -

    (4-x)(16-x)   +   0  -     0  +

    Donc S =[4;16]

    Le carré dépasse 272 pour x entre 4 et 16

    Bonus

    [tex]A_{MNPQ} = 2x^{2}-40x+400 = 2(x^{2}-20x+200)= 2(x^{2}-20x+ 100 + 100)= 2((x-10)^{2} + 100)\\A_{MNPQ} = 2(x-10)^{2} + 200\\\\On\ a \ toujours \ (x-10)^{2}\geq 0\\Donc \ 2(x-10)^{2} + 200 \geq 200\\Pour \ x=10 \ A_{MNPQ} = 200\\Donc \ 200 \ est \ le \ minimum \ et \ x=10[/tex]

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