Bonjour, j’ai besoin d’aide pour ce dm

Réponse :

Explications étape par étape

1) l'ensemble de définition de doit être tel que V(x)>ou=0 avec x>0.

on le précisera ultérieurement .

2a)Aire de la boîte S=4x²+6x*h (aires fond +couvercle +aire latérale)

2b)on sait que S=240cm²  donc h=(240-4x²)6x=40/x-2x/3

3)le volume de la boîte est V(x)= aire de la base *hauteur

V(x)=2x²( 40/x-2x/3)=80x-4x³/3

4)étude de V(x) sur son Df

V(x) doit être >ou=0 avec x>ou=0

V(x)=4x(20-x²/3)  V(x)=0 pour x=0 et x=rac60=4rac15

tableau de signes de V(x)

x              0                               rac60                      +oo

4x            0..............+....................................+...............

20-x²/3   ................+......................0................-..............

V(x)         ..0............+.......................0.................-.........

donc Df [0;rac60]

Etude de V(x)=80x-4x²/3

V(0)=0  et V(rac60)=0

dérivée

V'(x)=80-4x²   v'(x)=0 pour x=rac20=2rac5  (l'autre solution étant <0 donc éliminée)

Tableau de signes de V'(x) et de variations de V(x)

x      0                          2rac5                             rac60

V'(x).............+.....................0..................-.....................

v(x)  0........croi...............V(2rac5)........décroi..........0

le volume max est V(2rac5)=........

Vérification:  j'ai calculé l'aire d'une telle boîte et j'ai trouvé 240cm².

A confirmer.