Mathématiques seconde a) Vérifier que chacun des nombres premiers autre que 2 peut s’écrire 4n+1 ou 4n-1 (avec n appartenant à Z) b) Romain affirme: “Pour obten

bjr

Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs (lui-même et 1)

a)

Vérifier que chacun des nombres premiers autre que 2 peut s’écrire 4n+1 ou 4n-1 (avec n appartenant à Z)

 un nombre premier est un naturel c'est donc " n appartenant à N"  

• le reste de la division par 4 peut être : 0 ; 1 ; 2 ou 3

tout naturel est donc de la forme

(1)   4n + 0

(2)  4n + 1

(3)  4n + 2

(4)  4n + 3

un naturel qui s'écrit 4n est multiple de 4 et n'est pas premier

un naturel qui s'écrit 4n + 2 soit 2(2n + 1) est multiple de 2 et n'est pas premier

un nombre premier ne peut pas s'écrire sous les formes (1) ou (3)

Il peut s'écrire les formes (2) ou (4)

forme (2) : 4n + 1

forme (4) : 4n + 3 = 4n + 4 - 1 = (4n + 4) -1

                                               = 4(n + 1) -1

                                               = 4n' -1

Un nombre premier est donc un multiple de 4 plus 1

                                          ou   un multiple de 4 moins 1

b)

la réciproque est fausse

ce n'est pas parce qu'un nombre peut s'écrire sous la forme

4n + 1   ou   4n -1  qu'il est premier

exemple

21 = 20 + 1

   = 4 x 5 + 1

21 est un multiple de 4 plus 1 mais il n'est pas premier (3 x 7)