Bonjour, pouvez-vous m’aider s’il vous plaît pour mon devoirs merci d’avance.

Réponse :

bjr

Explications étape par étape

u1 = [ 3 * 1/2 ] / [ 1 + 2 * 1/2 ]

u1 = [ 3 * 1/2 ] / [ 2 ]

u1 = 3/4

u2 = [ 3 * 3/4 ] / [ 1 + 2 * 3/4 ]

u2 = [ 9/4 ] / [ 1 + 3/2 ]

u2 = [ 9/4 ] / [ 5/2 ]

u2 = [ 9/4 ] *  [ 2/5 ]

u2 = 9/10

vn =  [ un ] / [ 1 - un ]

vn+1 = [ un+1 ] / [ 1 - un+1 ] et comme un+1 = [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ]

vn+1 = { [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] } / [ 1 - [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] ]

vn+1 = { [ 3 * un ] / [ 1 + 2 * un ] } * { [ 1 + 2 * un ] / [ 1 + 2 * un - 3 * un ] } donc

vn+1 = [ 3 * un ] / [ 1 - un ] = 3 vn

donc Vn est une suite geometrique de raison 3

vn = v0 3^n

comme v0 = 1

vn = 3^n

De ce fait un = (1-un) 3^n

donc ( 1 + 3^n )  un = 3^n et ainsi

un = 3^n / ( 1 + 3^n )  

un = 1 / ( 1+ 1/3^n)

comme 1< e < 3 nous avons

e^n < 3^n donc  

1/3^n < 1/e^n = e^(-n) donc  

( 1 + 3^n ) < ( 1 + e^(-n) )  donc

1 / ( 1 + 3^n ) > 1 / ( 1 + e^(-n) )  et donc

3^n / ( 1 + 3^n ) > 3^n / ( 1 + e^(-n) ) ainsi

un > 1 / ( 1 + e^(-n) )

nous avons 1 / ( 1 + e^(-n) ) < un < 1

or lim (1 / ( 1 + e^(-n) )) = 1 quand n tend vers l infini

donc un converge et sa limite est 1