Bonjour j’ai besoin d’aide sur le 1er exercice de mon dm de maths merci !

Bonjour ;

La fonction x ----> e^(- x) est dérivable sur IR ;

donc la fonction x ----> - e^(- x) est dérivable sur IR .

De même la fonction x ----> 3 est dérivable sur IR .

La fonction f est dérivable sur IR comme somme de

deux fonctions dérivables sur IR ; donc on a pour tout x de IR :

f ' (x) = (3 - e^(- x)) ' = e^(- x) > 0 ;

donc ; f est strictement croissante sur IR .

2.

a.

Démontrons par récurrence que (u_n) est croissante .

Initialisation :

On a : u_0 = 2 et u_1 = 3 - e^(- 2) ;

donc : u_1 - u_0 = 3 - e^(- 2) - 2 = 1 - e^(- 2) > 0 .

hérédité :

Soit n ∈ IN tel que u_(n + 1) - u_n > 0 ;

donc : u_(n + 1) > u_n ;

donc : f(u_(n + 1)) > f(u_n) car f est strictement croissante ;

donc : u_(n + 2) > u_(n + 1) ;

donc : u_(n + 2) - u_(n + 1) > 0 .

Conclusion :

Pour tout n ∈ IN ; u_(n + 1) - u_n > 0 ;

donc (u_n) est strictement croissante .

b.

Pour tout n ∈ IN , e^(- u_n) > 0 ;

donc : - e^(- u_n) > 0 < 0 ;

donc : 3 - e^(- u_n) < 3 ;

donc : u_(n + 1) < 3 ;

donc pour tout n ∈ IN* ; u_n < 3 ;

et comme on a : u_0 = 2 < 3 ; alors pour

tout n ∈ IN , u_n < 3 ;

donc la suite (u_n) est majorée par 3 .

c.

la suite (u_n) est strictement croissante et majorée

donc elle est convergente .