Bonjour je dois résoudre ce devoir de terminale s ! Merci de votre aide !

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape

Partie A

1) f'(x) = 1 - 2x/(x²+1) = (x²- 2x +1)/(x²+1) = (x-1)²/(x²+1)

donc f'(x) ≥ 0

donc f(x) est croissante sur [0 ; 1]

2) f(x) étant croissante, si 0 ≤ x ≤1, on a f(0) ≤ f(x) ≤ f(1)

⇔ 0 ≤ f(x) ≤ 1 - ln(2) ≤ 1

Partie B

1) Pour le tracé,pense à tracer la droite d'équation y = x, qui te permet de reporter les images sur l'axe des abscisses,afin de représenter tes points U(1) , U(2) et U(3)

2) Soit P(n) la propriété : 0 ≤ U(n) ≤ 1

Initialisation :

U(0) = 1 ⇔ 0 ≤ U(0) ≤ 1

P(0) est vraie

Hérédité :

soit un entier n tel que : 0 ≤ U(n) ≤ 1 (H.R.)

⇔ f(0) ≤ f(U(n)) ≤ f(1) (car f est croissante)

⇔ 0 ≤ U(n+1) ≤ 1-ln(2) ≤ 1

Donc P(n+1)est vraie

P(n) est donc héréditaire

Conclusion

Quelque soit n (entier) , 0 ≤ U(n) ≤ 1

U(n) ∈ [0 ; 1]

3) U(n+1) - U(n) = U(n) - ln(U(n)² + 1) - U(n) = -ln(U(n)²+1)

U(n)² + 1 ≥ 1 , donc ln(Un)²+1) ≥ 0 donc -ln(U(n)² + 1) ≤ 0

La suite U(n) est donc décroissante

4) On a montré que 0 ≤ U(n) ≤ 1

U(n) est bornée, elle est donc convergente

on lim U(n) = l (l réel)

et lim U(n+1) = l

⇔ l - ln(l²+1) = l ⇔ -ln(l²+1) = 0 ⇔ l² + 1 = 1 ⇔ l = 0

La limite de U(n) en +∞ est donc 0