Bonjour, j'ai besoin de votre aide pour résoudre cette exo Chap sur les suites Ex 1 : Soit (Un) la suite numérique définie par : U₀=7 Pour tout n∈... Un+1=2Un-3

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1) Soit P(n) la propriété : U(n) =2^n+2 +3

Initialisation

U(0) = 7 et 2^0+2 +3 = 4+3 = 7

P(0) est vraie

Hérédité

U(n+1) = 2U(n) - 3

⇔ U(n+1) = 2(2^n+2 + 3) - 3 (hyp de récurrence)

⇔ U(n+1) = 2^n+3 +6 - 3

⇔ U(n+1) = 2^n+3 + 3

P(n+1) est vraie, P(n) est donc héréditaire

Conclusion

Pour tout n≥0 , U(n) = 2^n+2 + 3

2) Soit P(n) la propriété :2^n ≥ n² + 5n pour tout n ≥ 7

Init.

2^7 = 128 et 7² + 5×7 = 84 ⇔ 2^7 ≥ 7² + 5×7

⇔ P(7) est vraie

Hérédité

Soit un certain n tel que 2^n ≥ n² + 5n

Montrons que 2^n+1 ≥ (n+1)² +5(n+1) ⇔ 2^n+1 ≥ n²+ 7n + 6

2^n ≥ n² + 5n (H.R)

⇔ 2×2^n ≥ 2(n² + 5n)

⇔ 2^n+1 ≥ 2n² +10n

comparons 2n² + 10n et n² + 7n + 6

Pour cela , calculons leur différence

2n² + 10 n - (n² + 7n + 6) = n² + 3n - 6

Comme n ≥ 7 , n² + 3n - 6 ≥ 0

donc 2n² + 10n ≥ n² + 7n + 6

On a donc 2^n+1 ≥ 2n² + 10n ≥ n² + 7n + 6

⇔ 2^n+1 ≥ n² + 7n +6

⇔2^n+1 ≥ (n+1)² + 5(n+1)

P(n+1) est vraie, donc P(n) est héréditaire

Conclusion

Pour tout n ≥ 7 , 2^n ≥ n² + 5n