Bonjour, (Terminale S) Besoin d'aide pour ce devoir sur les congruences merci d'avance​

Réponse :

bonjour, n hesites pas si tu as des questions

Explications étape par étape

Question 1 ----------------------

on va se laisser guider par la suggestion, A peut s ecrire

A = 1561113 x 10^6 + 55376 et 55376 < 10^6

et la on se dit qu est-ce qu on va bien pouvoir en faire?

deja raisonons modulo 97, 10^6 ca fait combien ?

10^2 = 3 [97] car 100 = 1 * 97 + 3

10^6 = (10^2)^3 = 3^3 = 27 [97]

ensuite avec la calculatrice on peut faire les deux divisions euclidiennes suivantes

1561113 = 16093 * 97 + 92

et  

55376 = 570 * 97 + 86

donc

1561113 = 92 [97]

55376 = 86 [97]

ha mais on se souvient que A = 1561113 x 10^6 + 55376 donc

A = 92 * 27 + 86 [97]

et 92 * 27 + 86  = 2570 = 26 * 97 + 48

De ce fait  A = 48 [97]

on a presque finit :-)

A + cle = 0 [97]

donc cle = 97 - 48 = 49

la cle associee a A est donc 49

Question 2 ----------------------

faut faire quelques divisions euclidiennes comme en 1

A=1680391*10^6+174212

1680391 = 17323 * 97 + 60

174212 = 1796 * 97 + 0

A = 60 * 27 [97]

A = 68 [97] car 60*27 = 1620 = 16 * 97 + 68

donc la cle est 29

c est pas egal a 33 donc ce numero INSEE n est pas correct

Question 3 ----------------------

A=1680391*10^6+174112

174112 = 1794 * 97 + 94

A = 60 * 27 + 3 [97]

60*27+94 = 1623 = 16 * 97 + 65  

A = 65 [97]

donc la cle est 32

c est pas egal a 33 donc ce numero INSEE n est pas correct  

Question 4 ----------------------

si un des chiffres est errone, c est soit un chiffre de la cle soit un autre chiffre

si c est un chiffre de la cle l erreur est detectee trivialement

donc regardons maintenant ce qu il se passe si c'est un autre chiffre

reprenons les memes notations le numero s ecrit A + clef = 0 [97] A etant le nombre correct

il s ecrit a1 10^12 + a2 10^11 + ... + a13

soit A0 le nombre errone A0 est different de A il y a un seul chiffre de different

il existe i tel que 0<= i <=13 et tel que ai(A0) soit different de ai(A) et tous les autres egaux ce que l on peut ecrire ainsi

il existe i et n deux entiers tels que 0<= i <=13 et 0<=n<=9

A0 = A + (ou -) n10^i

mais alors est ce que le reste de A0 par la division euclidienne de 97 sera different du reste de A par la division euclidienne de 97?

supposons que non, donc supposons que A0 = A [97] ce qui revient a dire que n10^i = 0 [97]

ca veut dire que 97 divise n10^i

mais 97 et n sont premiers entre eux donc 97 divise 10^i mais 97 et 10 sont premiers entre eux donc c est pas possible

donc la difference entre A0 et A est detectee modulo 97

autrement dit si A0 differe de A son reste par la division euclidienne de 97 sera different aussi

donc l erreur sera detectee