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Bonsoir,

L'aire d'un triangle est donné par  [tex]\dfrac{1}{2}\times base\times hauteur[/tex]

1a) [tex]aire(AMC)=\dfrac{1}{2}\times AC\times MM'\\\\aire(ANC)=\dfrac{1}{2}\times AC\times NN'[/tex]

Or MM' = NN' = distance entre les droites (MN) et (AC).

Donc : aire(AMC) = aire(ANC)

b) Aire(BMC) = aire(ABC) - aire(AMC)
    Aire(BNA) = aire(ABC) - aire(ANC)

Puisque aire(AMC) = aire(ANC), on en déduit que aire(BMC) = aire(BNA)

2) a)  [tex]aire(BMC)=\dfrac{1}{2}\times BM\times CJ\\\\aire(ABC)=\dfrac{1}{2}\times BA\times CJ\\\\\Longrightarrow \dfrac{aire(BMC)}{aire(ABC)}= \dfrac{\dfrac{1}{2}\times BM\times CJ}{\dfrac{1}{2}\times BA\times CJ}\\\\\dfrac{aire(BMC)}{aire(ABC)}=\dfrac{BM}{BA} [/tex]

b) [tex]aire(BNA)=\dfrac{1}{2}\times BN\times AK\\\\aire(ABC)=\dfrac{1}{2}\times BC\times AK\\\\\Longrightarrow \dfrac{aire(BNA)}{aire(ABC)}= \dfrac{\dfrac{1}{2}\times BN\times AK}{\dfrac{1}{2}\times BC\times AK}\\\\\dfrac{aire(BNA)}{aire(ABC)}=\dfrac{BN}{BC}[/tex]

3) Puisque aire(BMC) = aire(BNA)  (voir 1 b), nous en déduisons que 

[tex]\dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BN}{BC}[/tex]