soit la suite:v(n) V0=1 V(n=1)=9/(6-Vn) Démontrer par récurence 0(inf) Vn (inf)3 Merci

Bonsoir,

1) Démontrons que  v(n) < 3

a) Initialisation :
v(1) < 3 car v(1) = 1 < 3.

b) Hérédité : 
Si v(n) < 3 , alors montrons que v(n+1) < 3.
En effet :
v(n) < 3 ==> -v(n) > -3 
           ==> 6 - v(n) > 6 - 3
           ==> 6 - v(n) > 3
           ==> 1/(6 - v(n)) < 1/3    car la fonction inverse est décroissante sur R+
           ==> 9/(6 - v(n)) < 9/3 
           ==> 9/(6 - v(n)) < 3
           ==> v(n+1) < 3  

Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) < 3.

2) Démontrons que  v(n) > 0

a) Initialisation :
v(1) > 0 car v(1) = 1 > 0.

b) Hérédité : 
Si v(n) > 0 , alors montrons que v(n+1) > 0.
En effet :
v(n) > 0 ==> -v(n) < 0 
           ==> 6 - v(n) < 6  
           ==> 1/(6 - v(n)) > 1/6    car la fonction inverse est décroissante sur R+ (nous avons montré dans le point 1b) que 6 - v(n) > 3 ==> 6 - v(n) > 0)
           ==> 9/(6 - v(n)) > 9/6 > 0 
           ==> 9/(6 - v(n)) > 0
           ==> v(n+1) > 0. 

Ces deux démonstrations montrent par récurrence que v(n) > 0.


Conclusion : 0 < v(n) < 3.