De l'aide svp ! C'est sur les vecteurs, niveau seconde...c'est vraiment urgent et je comprend strictement rien :( ! Vous seriez super sympa! Merci d'avance

Bonsoir,

A) Soit le repère [tex](A, \vec{AB},\vec{AC})[/tex]

a) Coordonnées de A : (0 ; 0)
                            B : (1 ; 0)
                            C : (0 ; 1)
                            N : (2 ; 1)

b) [tex]\vec{BM}=(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}-\vec{AB}=(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\vec{AB}+(-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=(1-\dfrac{1}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}\\\\\vec{AM}=(\dfrac{2}{3})\vec{AB}+(\dfrac{1}{3})\vec{AC}[/tex]

Donc les coordonnées de M sont (2/3 ; 1/3).

c) Les coordonnées de [tex]\vec{AM}[/tex]  sont (2/3 ; 1/3).
Les coordonnées de [tex]\vec{AN}[/tex]  sont (2 ; 1).

d) Vérifions la colinéarité de ces vecteurs :
[tex]\dfrac{2}{3}\times1-2\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{2}{3}=0[/tex]
Les vecteurs [tex]\vec{AM}[/tex]  et  [tex]\vec{AN}[/tex]  sont colinéaires.
Donc les points A, M et N sont alignés.

B) a) [tex]\vec{AM}=\vec{AB}+\vec{BM}\\\\\vec{AM}=\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\dfrac{3}{3}\vec{AB}-\dfrac{1}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}}\\\\\vec{AM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}[/tex]

b) On sait que  [tex]\vec{AN}=2\vec{AB}+\vec{AC}[/tex]

Donc :  [tex]\vec{AM}=\dfrac{2}{3}\vec{AB}+\dfrac{1}{3}\vec{AC}\\\\\vec{AM}=\dfrac{1}{3}(2\vec{AB}+\vec{AC})\\\\\vec{AM}=\dfrac{1}{3}\vec{AN}[/tex]

Les vecteurs [tex]\vec{AM}[/tex]  et  [tex]\vec{AN}[/tex]  sont colinéaires.
Par conséquent,  les points A, M et N sont alignés.