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Question

Bonjour ,je suis en galère, si vous pouviez me résoudre cette exercice s'il-vous-plaît.
Merci d'avance !

On pose x = AM = BN = CP = DQ avec 0< (ou égal) x < (ou égal) 20.

1. Calculer l'aire du carré MNPQ lorsque x = 5 cm.

2. L'aire du carré MNPQ en fonction de x (exprimée en cm carré) est notée A(x). Démontrer que A(x) = 2x² - 40x + 400.

3. On veut déterminer les valeurs de x pour lesquelles l'aire du carré MNPQ dépasse ou égale 272 cm².

(a) Expliquer pourquoi lo problème revient à résoudre l'inéquation : 2x²- 40x + 128 > 0.

(b) Démontrer l'égalite suivante : 2x²- 40x + 128 = (8 - 2x) (16 - x).

(c) En déduire, A l'aide d'un tableau de signes, les valeurs de x pour lesquelles l'aire du carré MNPQ dépasse ou égale 272cm².

4. Bonus. Determiner la valeur de x pour Iaquelle l'aire du carré MNPQ est minimale. Expliquer votre démarche !​
Bonjour ,je suis en galère, si vous pouviez me résoudre cette exercice s'il-vous-plaît. Merci d'avance ! On pose x = AM = BN = CP = DQ avec 0< (ou égal) x < (ou

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape

    1.

    x = 5 cm

    l aire du carre MNPQ c est l aire du carre ABCD moins l aire des 4 triangles

    aire de ABCD = 20 * 20 = 400

    les 4 triangles ont la meme aire de 5 * (20 - 5) / 2 = 5 * 15 / 2

    donc aire de MNPQ = 400 - 4 * 5 * 15 / 2

    = 400 - 10 * 15 = 400 - 150 = 250

    2-

    maintenant on travaille avec x

    l aire du carre MNPQ c est l aire du carre ABCD moins l aire des 4 triangles

    aire de ABCD = 20 * 20 = 400

    les 4 triangles ont la meme aire de x (20 -x) / 2

    donc aire de MNPQ = 400 - 4 x (20 - x) / 2

    = 400 - 2 ( 20 - x) x

    d ou en prenant les notations de l enonce

    A(x) = 400 - 40 x + 2x^2

    ou encore

    A(x) = 2x^2 - 40 x + 400

    3-

    a) on veut l aire de MNPQ > 272 c est equivalent a

    A(x) > 272 d ou

    2x^2 - 40 x + 400 - 272 > 0

    or 400 - 272 = 128 donc

    cela revient a resoudre l inequation 2x^2 - 40 x + 128 > 0

    b)

    developper (16-x)(8-2x)

    cela fait 16 * 8 - 16 * 2x - x * 8 + 2 x^2 = 2 x^2 - 40 * x + 128

    d ou le resultat

    c)

    notons f(x) = 2 x^2 - 40 * x + 128

    | x            |0       4        16      20|

    |16-x          |16  +   8   +    0   -   -4|

    |8-2x          |8   +   0   -   -24  -  -32|  

    |signe de f(x) |128 +   0   -    0   + 128|

    2x^2 - 40 x + 128 > 0 pour 0 <= x < 4 et 16 < x <=20

    4) on cherche la valeur de x pour laquelle A(x) est minimale

    A(x) est minimale si l aire des triangles est maximale

    il s agit de 4 triangles equivalents, raisonnons sur un triangle

    l aire est x (20-x) / 2

    quand les points M, N, P, Q sont au mileux des segments respectifs l aire des triangles est maximale

    on peut le voir de maniere geometrique

    et aussi par le calcul, en effet quand on s eloigne du milieu x va augmenter mais 20 - x va diminuer du meme montant,

    idem si x diminue 20-x va augmenter d autant donc le maximale est quand x = 20 - x

    de maniere plus formelle, imaginons a reel  (x+a)(x-a) = x^2 - a^2

    donc (x+a)(x-a) est maximum pour a = 0 car x^2 - a^2 <= x^2 et l egalite est uniquement vrai pour a = 0 soit x+ a= x-a

    c est a dire pou revenir a nos triangles 2 x = 20 donc x = 10 ce qui est bien le milieu

    et pour x = 10 et ca donne une aire de MNPQ de 200 cm2

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