Bonjour, je bloque sur cette exercice. Si quelqu'un pouvait m'aider. Merci d'avance pour votre aide :

Réponse :

bjr

Explications étape par étape

Soit f la fonction definie sur R par   [tex]f(x)=cos^2(x)[/tex]

On nous demande de se faire une idee de la parite et la periodicite de la fonction f

ben regardons ce que ca donne

utilisons la calculatrice pour voir la courbe representative de f

on voit qu elle est paire (symetrie par rapport a l axe des ordonnees)

et on voit qu elle est periodique de periode pi car le graphe se repete pour toutes les periodes de pi

C est quoi la parite d une fonction?

f est paire <=> ( pour tout x reel f(-x)=f(x) )

f est impaire <=> ( pour tout x reel f(-x)=-f(x) )

essayons d evaluer f(-x) et on verra si c est egal a f(x), -f(x) ou pas

pour tout reel x

[tex]f(-x)=cos^2(-x)[/tex]

or cos(-x)=cos(x) car la fonction cosinus est paire donc

[tex]f(-x)=cos^2(x)=f(x)[/tex]

donc f est paire sur R

C est quoi la periodicite d une fonction?

je regarde dans le cours et la definition est

On dit que f est periodique s il existe un nombre reel non nul t tel que

pour tout x reel f(x+t) = f(x)

que dire de la fonction consinus?

pour tout x reel cos(x+2pi)=cos(x)

donc consinus est une fonction de periode 2pi

de ce fait la fonction f est aussi une fonction de periode 2 pi

mais on peut peut etre faire mieux

en remarquant que pour tout x reel cos(x+pi)=-cos(x)

et donc pour tout x reel

[tex]f(x+pi)=cos^2(x+pi)= (-cos(x))^2 = cos^2(x) = f(x)[/tex]

De ce fait, f est une fonction periodique de period pi